Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）．
（1）当函数f（x）的图象过点（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一个根，求f（x）的表达式；
（2）若F（x）=

f(x)x＞0 -f(x)x＜0

当mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数时，试判断F（m）+F（n）能否大于0．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）根据函数图象过点（-1，0）得到一个方程，再根据方程f（x）=0有且只有一个根得到根的判别式为0，又得到一个方程，联列方程组，解方程组，得到本题结论；（2）根据条件判断F（m）+F（n）在什么条件下大于0，或者证明F（m）+F（n）≤0，得出本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+1图象过点（-1，0），
∴a-b+1=0．
∵方程f（x）=0有且只有一个根，
∴△=b²-4a=0．
∴

a=1 b=2

，
∴函数f（x）=x²+2x+1．
（2）结论：F（m）+F（n）＞0恒成立．以下证明．
∵函数f（x）=ax²+bx+1为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴b=0，
∴f（x）=ax²+1．
∵F（x）=

f(x)x＞0 -f(x)x＜0

，
∴F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

，
∴y=F（x）有单调增区间（-∞，0）和（0，+∞）．
当x＞0时，-x＜0，F（-x）=-a（-x）²-1=-（ax²+1）=-F（x）；
当x＜0时，-x＞0，F（-x）=a（-x）²+1=-（-ax²-1）=-F（x），
∴y=F（x），x∈（-∞，0）∪（0，+∞），为奇函数．
∵mn＜0，
∴m、n异号，
不妨设m＞0，则n＜0．
∵m+n＞0，
∴m＞-n＞0，
∴F（m）＞F（-n），
∴F（m）＞-F（n），
∴F（m）+F（n）＞0恒成立．

点评：本题考查了函数的奇偶性、函数图象与方程的根，本题难度不大，属于基础题．