Question

已知椭圆和双曲线还可以由下面的方式定义：平面内到定点的距离和定直线（定点在定直线外）的距离的比为常数的点的集合．这里定点就是焦点，定直线就是与焦点相对应的准线，比如椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的准线方程为x=±

a2

c

（c为半焦距），双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的准线方程为x=±

a2

c

（c为半焦距）这里的常数就是其离心率e．现在设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F的直线与椭圆相交于A、B两点，那么以弦AB为直径的圆与左准线的位置关系应该是

 

，那么类比到双曲线中结论是

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：过A、B分别向左准线作垂线AA'，BB'，由第二定义得：|AF|=e|AA'|，|BF|=e|BB'|，

|AF|+|BF|

2

=

|AA′|+|BB′|

2

•e，根据圆心到左准线的距离d，和半径r的关系，结合椭圆、双曲线的离心率，即可判断．

解答： 解：解：设圆锥曲线过焦点F的弦为AB，
过A、B分别向相应的准线作垂线AA'，BB'，
则由第二定义得：|AF|=e|AA'|，|BF|=e|BB'|，
∴

|AF|+|BF|

2

=

|AA′|+|BB′|

2

•e，
设以AB为直径的圆M半径为r，圆心到左准线的距离为d，即有r=de，
由于椭圆的离心率：0＜e＜1，此时r＜d，圆M与左准线相离；
由于双曲线的离心率：e＞1，此时r＞d，圆M与左准线相交．
故答案为：相离，相交

点评：本题主要考查类比推理思想，考查利用圆锥曲线的第二定义，梯形的中位线的性质，运用圆心到直线的距离与半径的比较，来判断直线与圆的位置关系．