Question

9．设关于某产品的明星代言费x（百万元）和其销售额y（百万元），有如表的统计表格：

i	1	2	3	4	5	合计
xi（百万元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百万元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百万元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00
$\overline{x}$=1.56，$\overline{w}$=4.01，$\overline{y}$=6，$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=48.66，$\sum_{i=1}^{5}$wiyi=132.62，$\sum_{i=1}^{5}$（xi-$\overline{x}$）2=0.20，$\sum_{i=1}^{5}$（wi-$\overline{w}$）2=10.14

其中${ω_i}=x_i^3（i=1，2，3，4，5）$．
（1）在坐标系中，作出销售额y关于广告费x的回归方程的散点图，根据散点图指出：y=a+blnx，y=c+dx³哪一个适合作销售额y关于明星代言费x的回归类方程（不需要说明理由）；
（2）已知这种产品的纯收益z（百万元）与x，y有如下关系：x=0.2y-0.726x（x∈[1.00，2.00]），试写出z=f（x）的函数关系式，试估计当x取何值时，纯收益z取最大值？（以上计算过程中的数据统一保留到小数点第2位）

Answer 1

分析 （1）散点图，根据散点图可知，y=c+dx³适合作销售额y关于明星代言费x的回归方程．
（2）令ω=x³，则y=c+dω是y关于ω的线性回归方程，求出y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³．z=f（x）=0.242x³-0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]，利用导数性质求出当明星代言费x=2.00百万元时，纯收益z取最大值．

解答 解：（1）散点图如右图：
根据散点图可知，y=c+dx³适合作销售额y关于明星代言费x的回归方程．
（2）令ω=x³，则y=c+dω是y关于ω的线性回归方程，
所以$\widehat{d}$=$\frac{\sum_{i}^{5}{ω}_{i}{•y}_{i}-5\overline{ω}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}（{ω}_{i}-{\overline{ω}}）^{2}}$=1.21，$\widehat{c}$=$\overline{y}$-1.21ω=1.15+1.21x³，
所以y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³．
z=f（x）=0.2y-0.726x=0.2（1.15+1.21x³）-0.726x
=0.242x³-0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]
令z'=0.726x²-0.726≥0，得x≥1.00，
因为x∈[1.00，2.00]，
所以估计当明星代言费x=2.00百万元时，纯收益z取最大值．
估计：当明星代言费x=2.00百万元时，纯收益z取最大值．

点评 本题考查线性回归方程的应用，是中档题，解题是要认真审题，注意导数性质的合理运用．