Question

1．已知f（x）=$\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}$，g（x）=ax³-x²-x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）的图象C在x=-$\frac{1}{2}$处的切线方程是y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．
（1）若?x₁，x₂∈（c，d），且x₁≠x₂，$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立，求c的最小值，d的最大值；
（2）探究函数h（x）=f（x）-（$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$）在（-∞，2]上零点的个数．

Answer 1

分析 （1）利用g（x）的图象C在x=-$\frac{1}{2}$处的切线方程是y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$，求出a，b；?x₁，x₂∈（c，d）且${x_1}≠{x_2}，\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$成立?g（x）在（c，d）上单调减，可得$（c，d）⊆（-\frac{1}{3}，1）$，即可求c的最小值，d的最大值；
（2）确定?x∈（-∞，2]，且$x≠-\frac{1}{2}$时，h（x）＞0，即可探究函数h（x）=f（x）-（$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$）在（-∞，2]上零点的个数．

解答 解：（1）g'（x）=3ax²-2x-1，
因为g（x）=ax³-x²-x+b的图象C在$x=-\frac{1}{2}$处的切线方程是$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$，
所以$g'（-\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$，即$3a{（-\frac{1}{2}）^2}-2×（-\frac{1}{2}）-1=\frac{3}{4}$，解得a=1．
因为图象C过点$A（-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$，
所以${（-\frac{1}{2}）^3}-{（-\frac{1}{2}）^2}-（-\frac{1}{2}）+b=\frac{3}{4}$，解得$b=\frac{5}{8}$．
?x₁，x₂∈（c，d）且${x_1}≠{x_2}，\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$成立?g（x）在（c，d）上单调减，
令g'（x）=3x²-2x-1＜0，得g（x）的减区间是$（-\frac{1}{3}，1）$，所以$（c，d）⊆（-\frac{1}{3}，1）$，
所以c的最小值是$-\frac{1}{3}$，d的最大值是1．
（2）?x∈（-∞，2]，$h（x）=f（x）-（\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}）=\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}-\frac{3}{4}x-\frac{9}{8}$，$h'（x）=\frac{3}{4}{e^{x+\frac{1}{2}}}-\frac{3}{4}$，
令$h'（x）=0，x=-\frac{1}{2}$，当$x∈（-∞，-\frac{1}{2}）$时，h'（x）＜0，
当$x∈（-\frac{1}{2}，2）$时，h'（x）＞0，
所以$h（x）≥h（-\frac{1}{2}）=0$，（当且仅当x=-$\frac{1}{2}$时，取等号）
即?x∈（-∞，2]，且$x≠-\frac{1}{2}$时，h（x）＞0，
所以函数$h（x）=f（x）-（\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}）$在（-∞，2]上有唯一的零点$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．