Question

18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由半径OD=OA，可得∠OAD=∠ODA；利用平行线的性质OC∥AD，可得∠OAD=∠BOC，进而得到∠DOC=∠ODA．利用三角形全等的判定定理即可得到△DOC≌△BOC．可得∠ODC=∠OBC．利用圆的切线的判定定理即可证明；
（2）从平行线得到线段的比，从而证得．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OC∥AD，∴∠1=∠ADO，∠2=∠DAO．
∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠1=∠2，
∵OC=OC，OB=OD，∴△DOC≌△BOC，∴∠ODC=∠OBC．
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
又OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB．
∵DE⊥AB，由（1）知CB⊥AB，∴FA∥DE∥CB，∴$\frac{FD}{FC}=\frac{AE}{AB}$．
在△FAC中，∵DP∥FA，∴$\frac{DP}{FA}=\frac{DC}{FC}$．
∵FA，FD是⊙O的切线，∴FA=FD，∴$\frac{DP}{FD}=\frac{DC}{FC}$，∴$\frac{DP}{DC}=\frac{FD}{FC}=\frac{AE}{AB}$．
在△ABC中，∵EP∥BC，∴$\frac{EP}{CB}=\frac{AE}{AB}$．
∵CD，CB是⊙O的切线，∴CB=CD，∴$\frac{EP}{CD}=\frac{AE}{AB}$，∴$\frac{DP}{DC}=\frac{EP}{CD}$，∴DP=EP．
∴点P平分线段DE．

点评 熟练掌握圆的性质、平行线的性质、全等三角形的判定及其性质定理、圆的切线的性质是解题的关键．