Question

19．给出定义：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的三个判断：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；  
②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；
③函数y=f（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函数．
则上述判断中所有正确的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 依据函数定义，得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，再对三个命题逐个验证后，即可得到正确结论．

解答 解：在①中，由题意知，{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，
则得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，则命题①为真命题；
在②中，由于k∈Z时，f（k）=k-{k}=k-k=0，
但由于f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故函数不是中心对称图形，故命题②为假命题；
在③中，由于{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，则得到f（x）=x-{x}为分段函数，
且在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上为增函数，故命题③为真命题．
故答案为 ①③．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．