Question

7．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为$\sqrt{13}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简，整理求出cosA的值，进而求出A的度数；
（2）在三角形ABD中，利用余弦定理求出AD的长，进而求出AC的长，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答 解：（1）已知等式整理得：2cos²A-1+3cosA=1，即（2cosA-1）（cosA+2）=0，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$或cosA=-2（舍去），
∵A为△ABC内角，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）在△ABD中，AB=3，BD=$\sqrt{13}$，cosA=$\frac{1}{2}$，
由余弦定理得：13=9+AD²-3AD，
解得：AD=4（负值舍去），
∴AC=2AD=8，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=6$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．