Question

14．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足：|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=6，$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow{a}$）=2
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角
（2）求|2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|

Answer 1

分析 （1）设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=6cosθ$，展开$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow{a}$）=2，代入$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=6cosθ$后求得θ值；
（2）利用$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$，展开后求得答案．

解答 解：（1）设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ=6cosθ$，
∴$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{a}{|}^{2}=6cosθ-1=2$，
得cos$θ=\frac{1}{2}$，
∵θ∈[0，π]，∴$θ=\frac{π}{3}$；
（2）|2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$
=$\sqrt{2-12+36}=2\sqrt{7}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．