Question

在△ABC中，求证：
（1）sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC；
（2）sinA+sinB-sinC=4sin

A

2

sin

B

2

cos

C

2

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）△ABC中，利用余弦定理可得a²+b²-c²=2ab•cosC．再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，可得要证的等式成立．
（2）利用三角函数的恒等变换化简等式右边，结果正好等于等式的左边，可得要证的等式成立．

解答： 解：（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
即a²+b²-c²=2ab•cosC．
再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，
∴要证的等式成立．
（2）△ABC中，∵等式右边=4sin

A

2

sin

B

2

cos

C

2

=4sin

A

2

sin

B

2

cos

π-A-B

2

 
=4sin

A

2

sin

B

2

sin

A+B

2

=4sin

A

2

sin

B

2

（sin

A

2

cos

B

2

+cos

A

2

sin

B

2

）
=2sin2

A

2

sinB+2sinAsin2

B

2

=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）
=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）
=sinA+sinB-sinC=左边，
∴要证的等式成立．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．