Question

16．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由题意利用两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值．

解答 解：设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值为cosθ，θ为$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角，
∵$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow b}|$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即 3${\overrightarrow{b}}^{2}$=-6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
即  ${\overrightarrow{b}}^{2}$=-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即 ${\overrightarrow{b}}^{2}$=-4|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ，∴cosθ=-$\frac{1}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．