Question

过点P（-4，4）作直线l与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点．
（Ⅰ）若直线l的斜率为-

1

2

，求弦AB的长；
（Ⅱ）若一直线与圆O相切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）根据直线l的斜率为-

1

2

，用点斜式求得直线l的方程．设点O到直线l的距离为d，则d=

4

5

，再利用弦长公式求得AB的值．
（Ⅱ）设切点Q的坐标为（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，可得切线方程，根据S=

1

2

•

4

x0

•

4

y0

=

8

x0•y0

，再利用基本不等式求得x₀•y₀ 取得最大值的条件，可得点Q的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）因为直线l的斜率为-

1

2

，所以直线l的方程是：y-4=-

1

2

（x+4），即 x+2y-4=0．
设点O到直线l的距离为d，则d=

4

5

，
所以 (

AB

2

)2=4-d²=4-

14

5

=

4

5

，解得：AB=

4

5

5

．
（Ⅱ）设切点Q的坐标为（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，则切线斜率为-

x0

y0

．
所以切线方程为y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀ ）．
又 x02+y02=4，故 x₀x+y₀y=4．
此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积S=

1

2

•

4

x0

•

4

y0

=

8

x0•y0

．…（13分）
由 x02+y02=4≥2x₀•y₀，∴当且仅当x₀=y₀=

2

 时，x₀•y₀ 有最大值．
即S有最小值．因此点Q的坐标为（

2

，

2

）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式、基本不等式的应用，属于基础题．