Question

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g（x）≠0，当x＜0时f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（-3）=0，则不等式

f(x)

g(x)

＜0的解集是

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数 h（x）=

f(x)

g(x)

，由已知可得 x＜0时，h′（x）＜0，从而可得函数g（x）在（-∞，0）单调递减，又由已知可得函数 g（x）为奇函数，故可得 g（0）=g（-3）=g（3）=0，且在（0，+∞）单调递减，结合图象可求．

解答： 解：∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f（-x）=-f（x）   g（-x）=g（x）
∵当x＜0时，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0
当x＜0时，[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，
令h（x）=

f(x)

g(x)

，则h（x）在（-∞，0）上单调递增，
∵h（-x）=

f(-x)

g(-x)

=

-f(x)

g(x)

=-h(x)，
∴h（x）为奇函数，
根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递增，
∵f（-3）=-f（3）=0，∴h（-3）=-h（3）=0
h（x）＜0的范围为（-∞，-3）∪（0，3）
故答案为：（-∞，-3）∪（0，3）

点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的运用，构造函数h（x）=

f(x)

g(x)

，并根据已知求解出该函数的性质是解答本题的关键，体会转化思想、构造的方法及函数、方程、不等式的相互联系．