Question

15．已知f（x）=（x²-3）e^x（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t₁＞0时，关于x的方程[f（x）-t₁][f（x）-t₂]=0恰好有5个实数根，则实数t₂的取值范围是（　　）

• A． （-2e，0）
• B． （-2e，0]
• C． [-2e，6e^-3]
• D． （-2e，6e^-3）

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，单调区间和极值，画出f（x）的大致图象，讨论t₁的范围，确定t₂的范围，通过图象即可得到所求范围．

解答 解：f（x）=（x²-3）e^x的导数为
f′（x）=（x²+2x-3）e^x=（x-1）（x+3）e^x，
当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞1或x＜-3时，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得f（x）的极小值为f（1）=-2e，极大值为f（-3）=6e^-3，
作出y=f（x）的图象，如图：
当t₁＞0时，关于x的方程[f（x）-t₁][f（x）-t₂]=0
恰好有5个实数根，
即为f（x）=t₁或f（x）=t₂恰好有5个实数根，
若t₁＞6e^-3，f（x）=t₁只有一个实根，不合题意；
若0＜t₁＜6e^-3，f（x）=t₁有三个实根，只要-2e＜t₂≤0，满足题意；
若t₁=6e^-3，f（x）=t₁有两个实根，只要0＜t₂＜6e^-3，满足题意；
综上可得，t₂的范围是（-2e，6e^-3）．
故选：D．

点评 本题考查函数和方程的转化思想，考查数形结合思想方法运用，以及导数的运用：求单调区间和极值，属于中档题．