Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=2BC=2，AB=$\sqrt{3}$，点E、F分别为AD、CD的中点．
（1）求证：直线BE∥平面PCD；
（2）求证：平面PAF⊥平面PCD；
（3）若PB=$\sqrt{3}$，求直线PB与平面PAF所成的角．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BCDE是平行四边形，从而BE∥CD，由此能证明直线BE∥平面PCD．
（2）推导出CD⊥PF，AB⊥BC，CD⊥AF，从而CD⊥平面PAF，由此能证明平面PAF⊥平面PCD．
（3）设AF与BE交于点G，连结PG，则∠BPG为直线BP与平面PAF所成的角，由此能求出直线PB与平面PAF所成的角．

解答 （本小题满分13分）
证明：（1）∵AD=2BC=2，且E为AD的中点，∴BC=ED．
又因为AD∥BC，则四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，
∵CD?平面PCD，BE?平面PCD，
∴直线BE∥平面PCD．…（4分）
（2）∵在等边△PCD中，F是CD的中点，∴CD⊥PF，
又BC∥AD，AB⊥AD，∴AB⊥BC，
又$AB=\sqrt{3}，BC=1$，∴AC=2，
又AD=2，∴CD⊥AF，又∵PF∩AF=F，∴CD⊥平面PAF，
故平面PAF⊥平面PCD．…（8分）
解：（3）设AF与BE交于点G，
由（2）知CD⊥平面PAF，BE∥CD，
故BG⊥平面PAF，连结PG，
则∠BPG为直线BP与平面PAF所成的角．
在Rt△PBG中，$BG=\frac{3}{2}$，$sin∠BPG=\frac{BG}{PB}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$∠BPG=\frac{π}{3}$．
∴直线PB与平面PAF所成的角$\frac{π}{3}$．…（13分）

点评 本题考查面面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．