Question

20．在直角坐标系xOy中，已知曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}}\right.$（t为参数），曲线${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数，a＞1），若C₁恰好经过C₂的焦点，则a的值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出曲线C₁的普通方程为x²-y²=4，曲线C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，a＞1，由此能求出结果．

解答 解：∵曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}}\right.$（t为参数），曲线${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数，a＞1），
∴曲线C₁的普通方程为x²-y²=4，
曲线C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}$=1，a＞1，
∵C₁恰好经过C₂的焦点（$±\sqrt{{a}^{2}-1}$，0），
∴a²-1=4，解得a=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程的互化及椭圆、双曲线性质的合理运用．