Question

7．已知圆O的半径为1，A，B是圆上的两点，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，MN是圆O的任意一条直径，若点C满足$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值为-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{ON}$）=${\overrightarrow{CO}}^{2}$-1，由点C在直线AB上，则当C在AB中点时候，OC⊥AB，OC最小为等边三角形AOB的高，从而求得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{ON}$）=${\overrightarrow{CO}}^{2}$+$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$，
∵MN是圆O的任意一条直径，∴$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=${\overrightarrow{CO}}^{2}$+0-1=${\overrightarrow{CO}}^{2}$-1．
要求$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值问题就是求${\overrightarrow{CO}}^{2}$的最小值，
由于$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），故点C在直线AB上，则当C在AB中点时候，
OC⊥AB，OC最小为等边三角形AOB的高线，为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时${\overrightarrow{CO}}^{2}$=$\frac{3}{4}$，
故$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值为${\overrightarrow{CO}}^{2}$-1=-$\frac{1}{4}$，
故答案为：-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．