Question

18．等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃=3$\sqrt{{a}_{2}{a}_{6}}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简可得2a₁+3a₁q=1，a₃=3$\sqrt{{a}_{2}{a}_{6}}$=3a₄，从而求得a_n；
（Ⅱ）化简S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=3-$\frac{2•{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}-1}$=1-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
∵a_n＞0，q＞0；
∴2a₁+3a₁q=1，a₃=3$\sqrt{{a}_{2}{a}_{6}}$=3a₄，
∴a₁=$\frac{1}{3}$，q=$\frac{1}{3}$；
故a_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（Ⅱ）S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
T_n=（$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{2}}$）+（$\frac{1}{{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{3}}$）+…+（$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$
=3-$\frac{2•{3}^{n+1}}{{3}^{n+1}-1}$=1-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$，
故T_n=1-$\frac{2}{{3}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了等比数列的判断与应用，同时考查了拆项求和法的应用．