Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=2，若a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n=n•2ⁿ．

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n≥1），变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n≥1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，
a_n=n•2ⁿ．
故答案为：n•2ⁿ．

点评 本题考查了递推公式、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档．