Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，则异面直线A₁B与AC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁B与AC所成角的余弦值．

解答 解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA₁=2，AC=BC=1，
∴A₁（1，0，2），B（0，1，0），A（1，0，0），C（0，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，0），
设异面直线A₁B与AC所成角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴异面直线A₁B与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．