Question

在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是（0，-3），（0，3）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-

1

2

．
（1）求点M的轨迹L的方程；
（2）若直线L经过点P（4，1），与轨迹L有且仅有一个公共点，求直线L的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的一般式方程

专题：计算题

分析：（1）求M点的轨迹方程，所以设M（x，y），根据直线AM，BM的斜率之积是-

1

2

，即可求得关于x，y的等式，即点M的轨迹方程：x²+2y²=18；
（2）若直线L不存在斜率，则容易判断它和轨迹L有两个交点，不合题意；存在斜率时设斜率为k，然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程，将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程，让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程．

解答： 解：（1）设M（x，y），则：
kAM•kBM=

y+3

x

•

y-3

x

=

y2-9

x2

=-

1

2

（x≠0）；
∴点M的轨迹方程为：x²+2y²=18（x≠0）；
（2）若直线L不存在斜率，则方程为：x=4；
x=4带入轨迹方程可得y=±1，即直线L和轨迹L有两个公共点，不合题意；
∴设直线L斜率为k，则方程为：y=kx-4k+1，带入轨迹方程并整理得：
（1+2k²）x²+4k（1-4k）x+16（2k²-k-1）=0；
∵直线L与轨迹L只有一个公共点，所以：
△=16k²（1-4k）²-64（1+2k²）（2k²-k-1）=0；
解得k=-2；
∴直线L的方程为：y=-2x+9．

点评：考查轨迹与轨迹方程的概念，以及求轨迹方程的方法，斜率公式，直线的点斜式方程，一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何．