题目内容
已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的高，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：
①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形；
②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA＝PB＝PC；
③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为
；
④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC的内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为
.
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
①②④
[解析]
对于①，如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故四个面都是直角三角形；
对于②，连接CM，当PM⊥平面ABC时，PA2＝PM2＋MA2，
PB2＝PM2＋BM2，PC2＝PM2＋CM2，
因为M是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BM＝AM＝CM，
故PA＝PB＝PC；
对于③，当PC⊥平面ABC时，
S△PCM＝
PC·CM＝×5×CM.
CM⊥AB时，CM取得最小值，长度为
，
所以S△PCM的最小值是×5×＝6；
对于④，设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO2＋OC2＝PC2，
又内切圆半径r＝(3＋4－5)＝1，所以OC＝
，PO2＝PC2－OC2＝25－2＝23，故PO＝.
综上，正确的命题有①②④.
练习册系列答案
相关题目
[
