Question

函数f（x）定义域为I，存在非零常数T，对于任意的x∈I，都有f（x+T）=-f（x），则f（x）是周期函数吗？若都有f（x+T）=

1

f(x)

，则f（x）是周期函数吗？若都有f（x+T）=-

1

f(x)

，则f（x）是周期函数吗？请给出详细的证明．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据周期函数的定义，若f（x+T）=f（x）则f（x）为周期函数，其中T为非零常数．

解答： （1）∵f（x+T）=-f（x），
∴f（x+2T）=-f（x+T）=-[-f（x）]=f（x）
即存在非零常数2T，对于任意的x∈I；都有
f（x+2T）=f（x），
∴f（x）是以2T为周期的周期函数．
（2）∵f（x+T）=

1

f(x)

，
∴f（x+2T）=f（x+T+T）=

1

f(x+T)

=

1

1 f(x)

=f（x），
即存在非零常数2T，对于任意的x∈I，都有f（x+2T）=f（x），
∴f（x）是以2T为周期的周期函数．
（3）∵f（x+T）=-

1

f(x)

，
∴f（x+2T）=-

1

f(x+T)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
即存在非零常数2T，对于任意的x∈I；都有
f（x+2T）=f（x），
∴f（x）是以2T为周期的周期函数．

点评：本题主要考查了周期函数的定义以及转化思想．