Question

设数列{a_n}满足

an+1

an

=q，且q≠0，数列{b_n}满足b_n=na₁+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2a_n-1+a_n（n∈N^*），已知b₁=m，b₂=

3m

2

，其中m≠0：
（Ⅰ）当m=1时，求b_n；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有S_n²-4s_n+3≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据已知等式可求得a₁和a₂，进而求得数列的公比，得到数列的通项公式．进而通过错位相减法求得b_n．
（Ⅱ）通过等比数列求和公式表示出S_n，根据S_n²-4s_n+3≤0恒成立求得s_n的范围，进而根据n为奇数和偶数分类讨论，求得1-（-

1

2

）ⁿ的最大和最小值，最后求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知b₁=a₁，
∴a₁=m，
又∵b₂=2a₁+a₂，
∴2a₁+a₂=

3m

2

，解得a₂=-

m

2

，
∴数列{a_n}的公比q=-

1

2

，
当m=1时，a_n=（-

1

2

）^n-1，
b_n=na₁+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2a_n-1+a_n，①
-

1

2

b_n=na₂+（n-1）a₃+…+2a_n+a_n+1，②
②-①得

3

2

b_n=-n+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1，
∴

3

2

b_n=-n+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=n-

1

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]，
∴b_n=

2n

3

+

2

9

-

2

9

（-

1

2

）ⁿ=

6n+2+(-2)2-n

9

．
（Ⅱ）S_n=

m[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=

2m

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]，
∵1-（-

1

2

）ⁿ＞0，
∵S_n²-4s_n+3≤0恒成立，
∴1≤S_n≤3，
∴

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
当n为奇数时，1-（-

1

2

）ⁿ∈（1，

3

2

]，
当n为偶数时，1-（-

1

2

）ⁿ∈[

3

4

，1]．
∴1-（-

1

2

）ⁿ的最大值为

3

2

，最小值为

3

4

，
∴

4

3

≤

2m

3

≤2，解得2≤m≤3．即所求实数m的取值范围是[2，3]

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式，数列的递推式等知识．用裂项法，错位相减法，公式法等求数列的和，是常用的方法．