Question

2．设数列{a_n}的前n项的和S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求首项a₁
（Ⅱ）证明数列{a_n+2ⁿ}是等比数列并求a_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$（n=1，2，3，…），当n=1时，a₁=S₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}$-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$，解得a₁．
（II）当n≥2时，S_n-1=$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$-$\frac{1}{3}×{2}^{n}$+$\frac{2}{3}$，化为：a_n=4a_n-1+2ⁿ．变形为${a}_{n}+{2}^{n}$=$4（{a}_{n-1}+{2}^{n-1}）$，即可得出．

解答 （I）解：∵S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$（n=1，2，3，…），
∴当n=1时，a₁=S₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}$-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$，解得a₁=2．
（II）证明：当n≥2时，S_n-1=$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$-$\frac{1}{3}×{2}^{n}$+$\frac{2}{3}$，
可得a_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$-（$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$-$\frac{1}{3}×{2}^{n}$+$\frac{2}{3}$），
化为：a_n=4a_n-1+2ⁿ．
∴${a}_{n}+{2}^{n}$=$4（{a}_{n-1}+{2}^{n-1}）$，
∴数列{a_n+2ⁿ}是等比数列，首项为4，公比为4．
∴a_n+2ⁿ=4ⁿ，
∴a_n=4ⁿ-2ⁿ．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．