Question

10．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且5S₁，2S₂，S₃成等差数列．
（1）求{a_n}的公比q；
（2）当a₁-a₃=3时，证明：数列{S_n-1}也是等比数列．

Answer 1

分析 （1）由5S₁，2S₂，S₃成等差数列，可得4S₂=S₃+5S₁，化为q²-3q+2=0，解得q．
（2）当a₁-a₃=3时，q≠1，可得：a₁（1-2²）=3，解得a₁．求出S_n，证明当n≥2时，$\frac{{S}_{n}-1}{{S}_{n-1}-1}$=常数（非0）即可．

解答 （1）解：∵5S₁，2S₂，S₃成等差数列，
∴4S₂=S₃+5S₁，化为4a₁（q+1）=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}+5）$，
∴q²-3q+2=0，解得q=1或2．
（2）证明：当a₁-a₃=3时，q≠1，可得：a₁（1-2²）=3，解得a₁=-1．
∴S_n=$\frac{-1（{2}^{n}-1）}{2-1}$=1-2ⁿ，
∴当n≥2时，$\frac{{S}_{n}-1}{{S}_{n-1}-1}$=$\frac{-{2}^{n}}{-{2}^{n-1}}$=2，
∴数列{S_n-1}也是等比数列，首项为-2，公比为2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．