Question

8．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的离心率为$\frac{1}{2}$，抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点F是椭圆C₁的右焦点．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）过点F且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l与抛物线C₂相交于A，B两点，当动点D在直线x=-2上移动时，试求△ABD周长c的最小值．

Answer 1

分析 （1）∵椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的离心率为$\frac{1}{2}$，求出椭圆的标准方程，进而求出焦点坐标，可得抛物线C₂的方程；
（2）求出直线与抛物线的交点坐标，利用对称法，可得△ABD周长c的最小值．

解答 解：（1）∵椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-3}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，解得：a²=4，
∴c²=a²-3=1，
即椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的右焦点F坐标为（1，0），
∵抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点F是椭圆C₁的右焦点．
∴$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
∴抛物线C₂的方程为：y²=4x
（2）过点F且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l方程为：y=$\sqrt{3}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=4x\\ y=\sqrt{3}（x-1）\end{array}\right.$得：3x²-10x+3=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴A（$\frac{1}{3}$，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$），B（3，2$\sqrt{3}$），
∴|AB|=$\frac{16}{3}$，
A点关于直线x=2为对称点为A′（-$\frac{13}{3}$，$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$），

∴c=|AD|+|BD|+|AB|
=|A′D|+|BD|+|AB|
≥|A′B|+|AB|
=$\frac{26}{3}$+$\frac{16}{3}$=14，
∴△ABD周长c的最小值为14．

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，抛物线和椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，难度中档．