Question

17．已知函数f（x）=sinx-xcosx．
（I）讨论f（x）在（0，2π）上的单调性；
（II）求证：当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）-$\frac{1}{3}$x³＜0．

Answer 1

分析 由f（x）=sinx-xcosx可得f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
（I）利用f′（x）＞0与f′（x）＜0可讨论f（x）在（0，2π）上的单调性；
（II）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，当x∈（0，2π）时，通过对g′（x）=xsinx-x²=x（sinx-x）的讨论分析可知，g（x）在（0，2π）上单调递减，从而可证当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）-$\frac{1}{3}$x³＜0．

解答 解：f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
（Ⅰ）f'（x）＞0⇒x∈（0，π），f'（x）＜0⇒x∈（π，2π）f（x）的递增区间（0，π），递减区间（π，2π）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，
则g′（x）=xsinx-x²=x（sinx-x），
当x∈（0，2π）时，设t（x）=sinx-x，则t′（x）=cosx-1＜0
所以t（x）在x∈（0，2π）单调递减，t（x）=sinx-x＜t（0）=0，
即sinx＜x，所以g′（x）＜0
所以g（x）在（0，2π）上单调递减，所以g（x）＜g（0）=0，
所以f（x）＜$\frac{1}{3}$x³．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性，突出考查导数法判断函数的单调性的运用，属于难题．