题目内容

（1）证明：函数y=x3+x是R上的增函数；
（2）讨论函数f（x）=
a+x
x
（a＞0）在定义域上的单调性并证明．
考点：函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）通过求导得出导函数大于0，从而判断函数的单调性；
（2）先求出函数的定义域，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，通过讨论自变量所在的区间，从而判断函数的单调性．
解答： 证明：（1）∵y′=3x2+1＞0，
∴函数y=x3+x是R上的增函数；
（2）f(x)=
a+x
x
=
a
x
+
x
，x∈(0，+∞)，
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=(
a
x1
+
x1
)-(
a
x2
+
x2
)
=
a
x1
-
a
x2
+
x1
-
x2

=(
x2
-
x1
)(
a
x1x2
-1)，
∵0＜x1＜x2，∴
x2
＞
x1
，
当x1，x2∈(0，
a
)时，
a
x1x2
＞1，
∴
x2
-
x1
＞0，
a
x1x2
-1＞0，
得f（x1）＞f（x2），
当x1，x2∈(
a
，+∞)时，
a
x1x2
＜1，
∴
x2
-
x1
＞0，
a
x1x2
-1＜0，
得f（x1）＜f（x2），
综上所述：f（x）在(0，
a
]上为减函数，在(
a
，+∞)上为增函数．
点评：本题考查了函数的单调性的判断及证明问题，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
参数方程为
x=-1+
3
t
y=2-t
（t为参数）的直线的倾斜角（　　）
A、
π
3
B、
π
6
C、
2π
3
D、
5π
6
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
年份2007200820092010201120122013
年份代号t1234567
人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（已知b=0.5）
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
函数f（x）=ax2+x-1+3a（a∈R）在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围．
从20名学生中随机抽取一名，若抽中女生的概率是
2
5
，则这20名学生中有女生
 
名．
若a，b∈R，则下列命题正确的是（　　）
A、若a＞b，则a2＞b2
B、若a＞b，则
1
a
＞
1
b
C、若a＞|b|，则a2＞b2
D、若ac＞bc，则a＞b
下列四个方程中表示y是x的函数的是（　　）
①x-2y=6②x2+y=1③x+y2=1④x=
y
．
A、①②B、①④C、③④D、①②④
关于函数f（x）=4sin（2x+
π
3
），（x∈R）有下列命题：
①y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数； 
②y=f（x）可改写为y=4cos（2x-
π
6
）；
③y=f（x）的图象关于点（-
π
6
，0）对称；   
④y=f（x）的图象关于直线x=-
5π
12
对称；
⑤y=|f（x）|是以π为最小正周期的周期函数．
其中正确的序号为
 
．
设f（x）=
x+3(x≥10)
f(f(x+5))(x≤10)
，则f（5）的值是（　　）
A、24B、21C、18D、16

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