Question

已知抛物线的顶点为（0，0），准线为x=-2，不垂直于x轴的直线x=ty+1与该抛物线交于A，B两点，圆M以AB为直径．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）圆M交x轴的负半轴于点C，是否存在实数t，使得△ABC的内切圆的圆心在x轴上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=ax，由准线为x=-2，能求出抛物线方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂y₂），C（x₀，0），由

x=ty+1 y2=8x

，得：y²-8ty-8=0，由此利用韦达定理能求出t的值．

解答： 解：（Ⅰ）设抛物线方程为y²=ax，
又a=2×4=8，
∴抛物线方程为y²=8x．…（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂y₂），C（x₀，0）
由

x=ty+1 y2=8x

，得：y²-8ty-8=0，…（5分）
则

y1+y2=8t y1y2=-8

，
由点C在以AB为直径的圆上得，

CA

•

CB

=0．…（7分）
又

CA

=(x1-x0，y1-0)，

CB

=(x2-x0，y2-0)，
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0，
又x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1，
∴

y 2 1 y 2 2

64

-(t(y1+y2)+2)x0+

x

2 0

+y1y2=0，
∴

x

2 0

-(8t2+2)x0-7=0（*），…（9分）
若存在t，使得△ABC的内心在x轴上，
则k_CA+k_CB=0…（12分）
∴

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=0，
即2ty₁y₂+（y₁+y₂）（1-x₀）=0，
即2t（-8）+8t（1-x₀）=0，
∴x₀=-1．…（14分）
结合（*）得，t=±

2

2

．…（15分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．