Question

已知数列{

1

an

}是公差为2的等差数列，且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_na_n+1}的前n项和为T_n．证明：

1

3

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项求出和，求出T_n，由n∈N₊和T_n单调性可求出T_n的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知列{

1

an

}为公差为2的等差数列，
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)•2，又a₁=1，∴

1

an

=2n-1，
∴an=

1

2n-1

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知anan+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
∴Tn=

1

2

-

1

2(2n+1)

＜

1

2

，又∵Tn=

n

2n+1

=

1

2+ 1 n

，T_n随n的增大而增大，
∴Tn≥T1=

1

3

，
∴

1

3

≤Tn＜

1

2

．

点评：本题考查等差数列的通项公式和裂项求和，还考查了函数的单调性，裂项求和是最重要的数列求和方法这一．属于中档题．