Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N^*），则数列{na_n}项和T_n（n-1）•2ⁿ+1．

Answer 1

分析 由S_n=2a_n-1（n∈N^*），可得：n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式可得a_n，于是na_n=n•2^n-1．再利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-1（n∈N^*），
∴n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}为等比数列，a_n=2^n-1．
∴na_n=n•2^n-1．
则数列{na_n}项和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1．
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
故答案为：=（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．