Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若∠MOB=60°，则该椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，在Rt△OAB中，M为线段AB的中点，∠MOB=60°，可得△OMB为等边三角形，因此c=$\sqrt{3}$b，即可得出．

解答 解：如图所示，
在Rt△OAB中，M为线段AB的中点，∠MOB=60°，
∴△OMB为等边三角形，∴∠OBM=60°．
∴c=$\sqrt{3}$b，∴c²=3b²=3（a²-c²），可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．