Question

17．已知曲线f（x）=$\frac{x}{e^x}$-axlnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=-x+$\frac{1}{e}$+b-1，则下列命题是真命题的个数为（　　）
①?x∈（0，+∞），f（x）＜$\frac{b}{e}$；   
②?x₀∈（0，e），f（x₀）=0；   
③?x∈（0，+∞），f（x）＞$\frac{b}{4e}$；   
④?x₀∈（1，e），f（x₀）=$\frac{1}{2e}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义求出a，b的值，分别构造函数g（x）=$\frac{x}{e^x}$，h（x）=xlnx，利用导数求出函数的最值，即可判断①③，根据函数零点定理即可判断②④

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{e^x}$-axlnx，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-a（1+lnx），
∵曲线f（x）=$\frac{x}{e^x}$-axlnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=-x+$\frac{1}{e}$+b-1，
∴f′（1）=0-a=-1，
∴a=1，
∴f（1）=$\frac{1}{e}$，
∴切线方程为y=-x+1+$\frac{1}{e}$
∴b=2，
∴f（x）=$\frac{x}{e^x}$-xlnx，
令g（x）=$\frac{x}{e^x}$，
∴g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_max=g（1）=0，
令h（x）=xlnx，
∴h′（x）=1+lnx，
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，h′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
当x＞$\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{x}{e^x}$＜xlnx+$\frac{2}{e}$，故①正确，
∵f（e）=$\frac{e}{{e}^{e}}$-e＜0，f（1）=$\frac{1}{e}$＞0，
∴f（e）f（1）＜0，
∴?x₀∈（0，e），f（x₀）=0，故②正确，
∵f（e）=$\frac{e}{{e}^{e}}$-e＜0，
∴③错误，
∵f（e）f（1）＜0，
∴?x₀∈（1，e），f（x₀）=$\frac{1}{2e}$，故④正确，
故真命题的个数为3个，
故选：C

点评 本题考查了导数的几何意义和导数和函数的最值的关系和函数零点定理，属于中档题．