Question

5．已知直线l₁：x-2y=0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x²+y²+2x-2y+F=0交于A、C两点，其中A（-1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l₂的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 由已知求出tanα，得到直线l₂的斜率，进一步求得方程，由A在圆上求得F，得到圆的方程，求出圆心坐标和半径，利用垂径定理求得|AC|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．

解答 解：直线l₁：x-2y=0的倾斜角为α，则tanα=$\frac{1}{2}$，
∴直线l₂的斜率k=tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$．
则直线l₂的方程为y-0=$\frac{4}{3}$（x+1），即4x-3y+4=0．
又A（-1，0）在圆上，∴（-1）²-2+F=0，得F=1，
∴圆的方程为x²+y²+2x-2y+1=0，化为标准方程：（x+1）²+（y-1）²=1，圆心（-1，1），半径r=1．
直线l₂与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=$\frac{|4×（-1）-3×1+4|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}=\frac{3}{5}$，
由勾股定理得半弦长=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{4}{5}$，
弦长|AC|=2×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{5}$．
又B，D两点在圆上，并且位于直线l₂的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，
如图所示，
当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
最大面积为：S=$\frac{1}{2}$|AC|×|BE|+$\frac{1}{2}$|AC|×|DE|=$\frac{1}{2}$|AC|×|BD|=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$×2=$\frac{8}{5}$，
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．