Question

19．已知变量x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-2y+3≥0}\\{x≤a}\end{array}\right.$，且z=x+2y的最小值为3，则$\frac{y}{x+1}$≥$\frac{1}{2}$的概率是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，得到当直线得z=x+2y截距最小时z最小，求出可行域内使直线截距最小的点的坐标，代入x=a求出a的值，利用$\frac{y}{x+1}$≥$\frac{1}{2}$的几何意义，转化求解概率即可．

解答 解：由变量x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-2y+3≥0}\\{x≤a}\end{array}\right.$画出可行域如图，

由z=x+2y的最小值为3，在y轴上的截距最小．
由图可知，直线得z=x+2y过A点时满足题意．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=3}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（3，0）．A在直线x=a上，可得a=3．
则$\frac{y}{x+1}$≥$\frac{1}{2}$的几何意义是可行域内的点与Q（-1，0）连线的斜率超过$\frac{1}{2}$，
由图形可知：直线x=3与直线x-2y+1=0的交点为：（3，2），
直线x-2y+3=0与x=3的交点（3，3），
∴则$\frac{y}{x+1}$＜$\frac{1}{2}$的概率：$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，
则$\frac{y}{x+1}$≥$\frac{1}{2}$的概率是：1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查了简单的线性规划，训练了数形结合的解题思想方法，是难题．