Question

设定义在R上的函数f（x）=

|lg|x-1||，(x≠1) 0，(x=1)

，若关于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0有7个不同的实根，则必有（　　）

• A、b＜0且c=0
• B、b＞0且c＜0
• C、b＜0且c＞0
• D、b≥0且c=0

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：先画出f（x）的图象，观察图形可知若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有三个不同实数解满足的条件，然后图象对称性求出三个根即可．

解答： 解：作出f（x）的图象如图所示：
设t=f（x），则方程[f（x）]²+bf（x）+c=0等价为t²+bt+c=0，
由图可知，只有当t=f（x）≥1时，方程t=f（x）有2个根．
当t=f（x）∈（0，1）时，t=f（x）有4个根．
当t=f（x）=0时，t=f（x）有3个根．
若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有7个不同实数解，
则等价为t²+bt+c=0的两个根满足t₁=0或t₂∈（0，1），
则c=0，此时方程等价为t²+bt=0，
则t（t+b）=0，另外一个根t₂=-b∈（0，1），
则-1＜b＜0．
即-1＜b＜0且c=0
故选：A

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数的图象与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．