Question

4．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边，且2acosB+bcosA=2c，则△ABC是（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 斜三角形

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可得2sinAcosB+sinBcosA=2sinC，由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得
2sinC=2sinAcosB+2sinBcosA，解得sinBcosA=0，由sinB≠0，可求cosA=0，结合范围A∈（0，π），可得A的值．

解答 解：∵△ABC中，2acosB+bcosA=2c，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得：2sinAcosB+sinBcosA=2sinC
又∵2sinC=2sin（A+B）=2sinAcosB+2sinBcosA，
∴sinBcosA=2sinBcosA，可得：sinBcosA=0，
∵sinB≠0，
∴可得：cosA=0，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．