Question

1．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为A，B，C且b=atanB．
（Ⅰ）求A-B的值；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=atanB得：bcosB=asinB，再利用正弦定理结合已知即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数恒等变换的应用可得sinA+sinB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），求得B的范围，利用正弦函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由b=atanB，得：bcosB=asinB，（1分）
又由正弦定理得，sinBcosB=sinAsinB，（3分）
由sinB≠0，
所以cosB=sinA（4分）
又P是钝角三角形，所以$A-B=\frac{π}{2}$．  （6分）
（Ⅱ）由$A-B=\frac{π}{2}$，
所以sinA+sinB=sin（B+$\frac{π}{2}$）+sinB=cosB+sinB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
由（Ⅰ）知C=π-（A+B）=$\frac{π}{2}$-2B∈（0，$\frac{π}{2}$），（8分）
所以$0＜B＜\frac{π}{4}$，（10分）
可得：$B+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$
又$\sqrt{2}sin（B+\frac{π}{4}）∈（1，\sqrt{2}）$，
所以：$sinA+sinB∈（1，\sqrt{2}）$．   （12分）

点评 本题考查了正弦定理、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．