Question

20．如图，在棱台ABC-FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AF}（{λ∈R，λ＞0}）$．
（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点P，连接PM，PN，可得MP∥AC，则MP∥平面ABC．再由已知证明NP∥平面ABC．得到平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，可证AO⊥BC，OE⊥BC．分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面BMN的法向量，求出＜$\overrightarrow{AN}，\overrightarrow{n}$＞的余弦值，即可得到直线AN与平面MNB所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）当$λ=\frac{1}{2}$，即M为AF中点时MN∥平面ABC．
事实上，取CD中点P，连接PM，PN，
∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，
∵AC?平面ABC，MP?平面ABC，∴MP∥平面ABC．
由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，
又DE∥BC，∴NP∥BC，
∵BC?平面ABC，NP?平面ABC，∴NP∥平面ABC．
∴平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，
∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO?平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，
∵OC=$\frac{1}{2}BC=ED$，BC∥ED，∴OE∥CD，
又CD⊥BC，∴OE⊥BC．
分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），E（1，0，0），$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=（0，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴F（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），N（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$）．
设$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$为平面BMN的法向量，则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BN}=\frac{x}{2}+\frac{3}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=-\frac{y}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（-9\sqrt{3}，3\sqrt{3}，1）$．
cos＜$\overrightarrow{AN}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-4\sqrt{6}}{\sqrt{1897}}$．
∴直线AN与平面MNB所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{1897}}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．