题目内容
已知向量
=（2cosx，
cosx-1），
=（
sinx，
cosx+1），函数f（x）=
•
，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
，把所得到的图象再向左平移
单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，
]上的最大值．
| a |
| 2 |
| b |
| 3 |
| 2 |
| a |
| b |
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 8 |
考点：平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得函数f（x）=
•
=2sin(2x+
)，即可得出函数f（x）的最小正周期T=π，
由
+2kπ≤2x+
≤2kπ+
，（k∈Z）．解出即可得到函数f（x）的单调递减区间．．
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
，把所得到的图象再向左平移
单位，得到函数y=g（x）=2sin(4x+
)的图象．再利用正弦函数的单调性即可得出其最大值．
| a |
| b |
| π |
| 6 |
由
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
解答：
解：（1）函数f（x）=
•
=2
sinxcosx+2cos2x-1=
sin2x+cos2x=2sin(2x+
)，
∴函数f（x）的最小正周期T=π，
由
+2kπ≤2x+
≤2kπ+
解得kπ+
≤x≤kα+
，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
，把所得到的图象再向左平移
单位，
得到函数y=g（x）=2sin(4x+
)的图象．
∵x∈[0，
]，∴(4x+
)∈[
，
]，
∴当x=0时，g（x）max=1．
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的最小正周期T=π，
由
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
得到函数y=g（x）=2sin(4x+
| 5π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 8 |
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
∴当x=0时，g（x）max=1．
点评：本题综合考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象和性质、三角函数的图象变换等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知x可以在区间[-t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[-
t，t]的概率是（ ）
| 1 |
| 2 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
设实数a，b，c满足a+b+c=6，则a，b，c中（ ）
| A、至多有一个不大于2 |
| B、至少有一个不小于2 |
| C、至多有两个不小于2 |
| D、至少有两个不小于2 |
如图，梯形BCDE中，DE∥BC，CD⊥DE，ED=DC=