Question

数列{a_n}满足a₁=-13，

1

an

-

2

an•an+1

-

1

an+1

=0，且前n项的和为S_n．
（1）证明：数列{a_n}为等差数列；
（2）求数列{

Sn

n

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

1

an

-

1

an+1

=

2

an•an+1

，由此能证明{a_n}为首项a₁=-13，公差为d=2的等差数列．
（2）由Sn=-13n+

n(n-1)

2

×2=n²-14n，得

Sn

n

=n-14，由此能求出数列{

Sn

n

}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=-13，

1

an

-

2

an•an+1

-

1

an+1

=0，
∴

1

an

-

1

an+1

=

2

an•an+1

，
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}为首项a₁=-13，公差为d=2的等差数列．
（2）解：∵{a_n}为首项a₁=-13，公差为d=2的等差数列，
∴Sn=-13n+

n(n-1)

2

×2=n²-14n，
∴

Sn

n

=n-14，
∴数列{

Sn

n

}是首项为-13，公差为1的等差数列，
∴T_n=-13n+

n(n-1)

2

×1=

1

2

n2-

27

2

n．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．