Question

设数列{a_n}满足当n＞1时，a_n=

an-1

1+4an-1

，且a₁=

1

5

．
（Ⅰ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）试问a₁a₂是否是数列{a_n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的概念及简单表示法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）把原递推式取倒数，得到数列{

1

an

}是首项为5，公差为4的等差数列，求出数列{

1

an

}的通项公式后得答案；
（Ⅱ）直接求出a₁a₂，由a₁a₂=

1

4n+1

求得n的值的答案．

解答： 解：（1）根据题意a₁=

1

5

，及递推关系a_n=

an-1

1+4an-1

，有a_n≠0，
取倒数得：

1

an

=

1

an-1

+4，即

1

an

-

1

an-1

=4（n＞1）．
∴数列{

1

an

}是首项为5，公差为4的等差数列．

1

an

=5+4(n-1)=4n+1，an=

1

4n+1

；
（2）由（1）得：
a₁a₂=

1

5

×

1

9

=

1

45

=

1

4n+1

，解得n=11．
∴a₁a₂是数列{a_n}中的第11项．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．