题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=-
恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x），对任意α，β∈R，求证：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤81．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=-
| (2a+3)2 |
| 9 |
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x），对任意α，β∈R，求证：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤81．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）先确定C的值，再由极值确定a的取值范围，（Ⅱ）结合图象可知-
是极值；（3）实质是求最值的差．
| (2a+3)2 |
| 9 |
解答：
解：（I）由题意，f（0）=0，
∴c=0，
则f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，且f′（1）=0．
即3+2a+b=0
∴b=-2a-3，
∴f′（x）=3x2+2ax-2a-3=3（x-1）（x+
），
因为当x=1时取得极大值，
所以
＜-1，即a＜-3；
所以a的取值范围为（-∞，-3）．
（II）由下表：
依题意得：
(2a+3)2=-
或-a-2=-
，
又由a＜-3解得：a=-9．
所以函数f（x）=x3-9x2+15x．
（III）对任意的实数α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
在区间[-2，2]有：f（-2）=-74，f（2）=2，f（1）=7；
因此f（x）最大值=7，f（x）最小值=-74．
所以|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤7-（-74）=81．
∴c=0，
则f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，且f′（1）=0．
即3+2a+b=0
∴b=-2a-3，
∴f′（x）=3x2+2ax-2a-3=3（x-1）（x+
| 2a+3 |
| 3 |
因为当x=1时取得极大值，
所以
| 2a+3 |
| 3 |
所以a的取值范围为（-∞，-3）．
（II）由下表：
| x | （-∞，1） | 1 | （1，-
| -
| （--
| ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | - | ||||||
| f（x） | 递增 | 极大值-a-2 | 递减 | 极小值
| 递增 |
| a+6 |
| 27 |
| (2a+3)2 |
| 9 |
| (2a+3)2 |
| 9 |
又由a＜-3解得：a=-9．
所以函数f（x）=x3-9x2+15x．
（III）对任意的实数α，β都有-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，
在区间[-2，2]有：f（-2）=-74，f（2）=2，f（1）=7；
因此f（x）最大值=7，f（x）最小值=-74．
所以|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤7-（-74）=81．
点评：本题综合考查了函数的性质与图象及导数的综合应用，属于难题．
练习册系列答案
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