Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=

x+1

x+2

，若对任意实数t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由分离常数法化简解析式，并判断出函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，由偶函数的性质将不等式化为：f（|t+a|）＞f（|t-1|），利用单调性得|t+a|＞|t-1|，
化简后转化为：对任意实数t∈[

1

2

，2]，都有（2a+2）t+a²-1＞0恒成立，根据关于t的一次函数列出a的不等式进行求解．

解答： 解：∵当x＞0时，f（x）=

x+1

x+2

=

x+2-1

x+2

=1-

1

x+2

，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由f（t+a）-f（t-1）＞0得，f（t+a）＞f（t-1），
又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（|t+a|）＞f（|t-1|），则|t+a|＞|t-1|，
两边平方得，（2a+2）t+a²-1＞0，
∵对任意实数t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，
∴对任意实数t∈[

1

2

，2]，都有（2a+2）t+a²-1＞0恒成立，
则

(2a+2)× 1 2 +a2-1＞0 (2a+2)×2+a2-1＞0

，化简得

a2+a＞0 a2+4a+3＞0

，
解得，a＞0或a＜-3，
实数a的取值范围是：a＞0或a＜-3．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及恒成立的转化问题，二次不等式的解法，属于中档题．