题目内容
设函数φ（x）=3x（x∈R）．
（1）若y=kx（k＞0）与函数y=φ（x）的图象交于A，B两点，过点B作x轴的平行线交函数y=φ（3x）的图象于点C，若AC平行于y轴，求点A的纵坐标；
（2）令p（x）=
，q（x）=
，求证：p（
）+p（
）+…+p（
）=q（
）+q（
）+…+q（
）．
（3）若f（x）=
为R的奇函数．
（i）求函数f（x）的表达式；
（ii）若对任意的x∈R，都有f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，求k的取值范围．
（1）若y=kx（k＞0）与函数y=φ（x）的图象交于A，B两点，过点B作x轴的平行线交函数y=φ（3x）的图象于点C，若AC平行于y轴，求点A的纵坐标；
（2）令p（x）=
| φ(x) | ||
φ(x)+
|
| 3 |
| φ(2x)+3 |
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
（3）若f（x）=
| φ(x+1)+a |
| φ(x)+b |
（i）求函数f（x）的表达式；
（ii）若对任意的x∈R，都有f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，求k的取值范围．
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据条件设出A，B，C的坐标，建立条件关系即可求点A的纵坐标；
（2）根据函数表达式证明p（x）+p（1-x）=1，q（x）+q（1-x）=1，即可证明等式成立．
（3）根据函数是奇函数，求出a，b的值，判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，即可得到结论．
（2）根据函数表达式证明p（x）+p（1-x）=1，q（x）+q（1-x）=1，即可证明等式成立．
（3）根据函数是奇函数，求出a，b的值，判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，即可得到结论．
解答：
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=kx1，y2=kx2，y1=3x1，y2=3x2，
∵BC∥x轴，∴C点的纵坐标为y2，
∵AC∥y轴，∴C点的横坐标为x1，即C（x1，y2），
∵C在y=φ（3x）=33x，
∴y2=33x1=3x2，即3x1=x2，y2=y13
则k=
=
=
=
•k，
即
=1，即y12=3，解得y1=
．
（2）令p（x）=
=
，
q（x）=
=
，
则p（1-x）=
=
=
，则p（x）+p（1-x）=
+
=1，
q（1-x）=
=
，
则q（x）+q（1-x）=
+
=1，
则p（
）+p（
）+…+p（
）=1007，q（
）+q（
）+…+q（
）=1007．
则p（
）+p（
）+…+p（
）=q（
）+q（
）+…+q（
）成立．
（3）f（x）=
=
为R的奇函数．
则f（0）=
=0，解得a=-3．
即f（x）=
，
且f（1）+f（-1）=0，即
+
=0，解得b=1，即f（x）=
=
．
∵f（x）=
=
=3-
．
∴u=3x+1单调递增，且u＞1，此时y=3-
为增函数，
∴f（x）=3-
是R上的增函数，
不等式f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，
等价为f（φ（2x）-1）＞-f（2-kφ（x））=f（kφ（x）-2），
即32x＞k3x-1，
即k＜
=3x+
，
∵3x+
≥2
=2，当且仅当x=0时，取等号，
∴k＜2．
∵BC∥x轴，∴C点的纵坐标为y2，
∵AC∥y轴，∴C点的横坐标为x1，即C（x1，y2），
∵C在y=φ（3x）=33x，
∴y2=33x1=3x2，即3x1=x2，y2=y13
则k=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y13-y1 |
| 3x1-x1 |
| (y12-1)y1 |
| 2x1 |
| y12-1 |
| 2 |
即
| y12-1 |
| 2 |
| 3 |
（2）令p（x）=
| φ(x) | ||
φ(x)+
|
| 3x | ||
3x+
|
q（x）=
| 3 |
| φ(2x)+3 |
| 3 |
| 32x+3 |
则p（1-x）=
| 31-x | ||
31-x+
|
| 3 | ||
3+
|
| ||
|
| 3x | ||
3x+
|
| ||
|
q（1-x）=
| 3 |
| 32(1-x)+3 |
| 32x |
| 3+32x |
则q（x）+q（1-x）=
| 3 |
| 32x+3 |
| 32x |
| 3+32x |
则p（
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
则p（
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
（3）f（x）=
| φ(x+1)+a |
| φ(x)+b |
| 3x+1+a |
| 3x+b |
则f（0）=
| 3+a |
| 1+b |
即f（x）=
| 3x+1-3 |
| 3x+b |
且f（1）+f（-1）=0，即
| 9-3 |
| 3+b |
| 1-3 | ||
|
| 3x+1-3 |
| 3x+b |
| 3x+1-3 |
| 3x+1 |
∵f（x）=
| 3x+1-3 |
| 3x+1 |
| 3(3x+1)-6 |
| 3x+1 |
| 6 |
| 3x+1 |
∴u=3x+1单调递增，且u＞1，此时y=3-
| 6 |
| u |
∴f（x）=3-
| 6 |
| 3x+1 |
不等式f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，
等价为f（φ（2x）-1）＞-f（2-kφ（x））=f（kφ（x）-2），
即32x＞k3x-1，
即k＜
| 32x+1 |
| 3x |
| 1 |
| 3x |
∵3x+
| 1 |
| 3x |
3x•
|
∴k＜2．
点评：本题主要考查函数方程，函数奇偶性，函数单调性之间的应用，综合性较强，运算量较强，难度非常大．
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