Question

（1）若x、y为正整数，且满足

4

x

+

16

y

=1，求x+y的最小值．
（2）圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，求经过两圆圆心的直线的直角坐标方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,简单线性规划

专题：不等式的解法及应用,坐标系和参数方程

分析：（1）由x+y=（x+y）（

4

x

+

16

y

=1），展开后利用基本不等式求x+y的最小值；
（2）化两圆的极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心坐标，然后由直线方程的截距式得答案．

解答： 解：（1）∵

4

x

+

16

y

=1，
∴x+y=（x+y）（

4

x

+

16

y

）
=20+（

4y

x

+

16x

y

）≥20+2

4y x • 16x y

=36．
当且仅当

4 x + 16 y =1 4y x = 16x y

，即x=12，y=24时上式等号成立；
（2）由ρ=4cosθ，得
ρ²=4ρcosθ，即x²+y²-4x=0，
∴圆O₁的圆心坐标为（2，0）．
由ρ=-4sinθ，得
ρ²=-4ρsinθ，即x²+y²+4y=0，
∴圆O₂的圆心坐标为（0，-2）．
∴经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为

x

2

-

y

2

=1．
即x-y-2=0．

点评：本题考查了利用基本不等式求最值，考查了简单曲线的极坐标方程，是基础题．