Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若a=

1

2

，且关于x的方程f（x）=-

1

6

x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2（n∈N^*），求证：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g(x)=lnx-

x

3

+1，x∈[1，4]，求出函数的最大值，比较g（1），g（4），即可求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明a_n+1+1≤2（a_n+1），可得当n≥2时，0＜

an+1

an-1+1

≤2，0＜

an-1+1

an-2+1

≤2，…，0＜

a2+1

a1+1

≤2，相乘得0＜

an+1

a1+1

≤2n-1，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=-

ax-1

x

(x＞0)，
(0，

1

a

)，f′(x)＞0，f(x)单调递增，(

1

a

，+∞)，f′(x)＜0，f(x)单调递减
当x=

1

a

时，f（x）取最大值f(

1

a

)=-lna…（4分）
（Ⅱ）解：a=

1

2

，由f(x)=-

1

6

x+b得lnx-

x

3

+1=b在[1，4]上有两个不同的实根，
设g(x)=lnx-

x

3

+1，x∈[1，4]，g′(x)=

3-x

3x

，x∈[1，3）时，g'（x）＞0，x∈（3，4]时，g'（x）＜0，
所以g（x）_max=g（3）=ln3，
因为g(1)=

2

3

，g(4)=2ln2-

1

3

，g(1)-g(4)=

2

3

-2ln2+

1

3

=1-2ln2＜0，得g（1）＜g（4）
所以b∈[2ln2-

1

3

，ln3)…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当a=1时，lnx＜x-1．
由已知条件a_n＞0，a_n+1=lna_n+a_n+2≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，
故a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以当n≥2时，0＜

an+1

an-1+1

≤2，0＜

an-1+1

an-2+1

≤2，…，0＜

a2+1

a1+1

≤2，
相乘得0＜

an+1

a1+1

≤2n-1，
又a₁=1，故an+1≤2n，即an≤2n-1…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，有难度．