Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{（x+2{）^2}+sinx}}{{{x^2}+4}}$（x∈[-a，a]），则f（x）的最大值和最小值之和是2．

Answer 1

分析 先将函数化简，构造函数，根据函数的奇偶性，即可求得结论．

解答 解：f（x）=$\frac{{（x+2{）^2}+sinx}}{{{x^2}+4}}$=1+$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，
设g（x）=$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，
∴g（-x）=$\frac{-4x-sinx}{{x}^{2}+4}$=-g（x），
∴g（x）为奇函数，x∈[-a，a]，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
∴f（x）_max=1+g（x）_max，f（x）_min=1+g（x）_min，
∴f（x）_max+f（x）_min=1+g（x）_max+1+g（x）_min=2
故答案为：2

点评 本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，关键构造函数，判断函数的奇偶性．