前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后.商丘市近期加大环境治理力度.如表提供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y的几组对应数据．x3456y2.5344.5(Ⅰ)请根据上表提供的数据.用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a,(Ⅱ)已知该企业技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后，商丘市近期加大环境治理力度，如表提供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）已知该企业技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

分析（Ⅰ）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量．

解答解：（Ⅰ）由图表知x与y具有线性相关关系，则根据对应数据，计算得：
x₁²+x₂²+x₃²+x₄²=86，$\overline{x}$=$\frac{3+4+5+6}{4}$=4.5，$\overline{y}$=$\frac{2.5+3+4+4.5}{4}$=3.5，
已知x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+x₄y₄=66.5，
所以，由最小二乘法确定的线性回归方程的系数为
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×4.52}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35．
因此，所求的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.35+0.7x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的线性回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗约为：
90-（0.35+0.7×100）=19.65（吨标准煤）．

点评本题考查线性回归方程的求法和应用，本题是非常符合新课标中对于线性回归方程的要求，注意通过这个题目掌握一类问题，注意数字的运算．

运动时间性别	运动达人	非运动达人	合计
男生	36
女生		26
合计			100

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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