Question

9．已知函数f（x）=ax-1-lnx （a∈R）．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ） 若a=1时，对于?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，根据参数a讨论函数的单调性，极值点的个数；
（2）对于?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立 等价转化为：b≤$\frac{x-1-lnx+2}{x}$=1+$\frac{1-lnx}{x}$ 在x＞0上恒成立．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（Ⅰ）  f'（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
当a≤0时，f'（x）在x＞0上恒小于0，
f（x）在x＞0上单调递减，此时f（x）没有极值点．
当a＞0时，f'（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上为负，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上为正，f（x）在x=$\frac{1}{a}$处取得极小值，此时f（x）有一个极值点．
综上知：当a≤0时，f（x）在定义域内的极值点的个数为0，
当a＞0时，在定义域内f（x）的极值点的个数为1．
（Ⅱ）a=1，f（x）=x-1-lnx，对于任意x＞0，f（x）≥bx-2恒成立，即为：
b≤$\frac{x-1-lnx+2}{x}$=1+$\frac{1-lnx}{x}$ 在x＞0上恒成立．
令g（x）=1+$\frac{1-lnx}{x}$，则g'（x）=0得：x=e²．
∴g（x）在（0，e²）上为减函数，在（e²，+∞）上为增函数，
则g（x）在x=e²时取得最小值为g（e²）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

点评 本题主要考查了利用导数求函数的单调性，函数的最值以及等价转化问题，属中等题．